회귀분석 계산기 (단순선형회귀)

1. **X와 Y 입력**: X는 독립변수(예측변수), Y는 종속변수(결과변수)입니다. 스프레드시트에서 두 열을 붙여 넣거나, 쉼표·공백으로 구분해 입력하거나, CSV를 불러와 열을 선택합니다. 2. **n 확인**: X나 Y가 비어 있는 행은 제외되며, 사용된 쌍의 수가 표시됩니다. 최소 3쌍이 필요합니다. 3. **계수 표 읽기**: 절편과 기울기 각각에 대해 추정값, 표준오차, t값, 양측 p값이 나옵니다. 4. **모형 요약 읽기**: R², 수정된 R², 잔차 표준오차, F값과 그 p값. 5. **그래프 확인**: 회귀선이 그려진 산점도로 직선이 데이터를 잘 설명하는지 확인합니다. 6. **APA 7 결과 문장과 회귀식 복사**해 논문에 사용합니다.

데이터는 기기 밖으로 나가지 않으며, 계산은 모두 브라우저에서 실행됩니다.

단순선형회귀는 관측값 Y와 직선 사이 세로 거리의 제곱합이 최소가 되는 직선 `ŷ = b0 + b1·x`를 찾는 방법입니다(최소제곱법, OLS).

• **기울기 b1(회귀계수)**: X가 1단위 증가할 때 Y의 기대 변화량.
• **절편 b0**: X = 0일 때 Y의 예측값. X = 0이 현실적인 값일 때만 해석할 의미가 있습니다.
• **결정계수 R²**: Y의 변동 중 X로 설명되는 비율.

하나의 독립변수로 결과를 **예측**하거나, X가 1단위 바뀔 때 Y가 얼마나 바뀌는지 **수치화**하고 싶을 때 씁니다. 예를 들어 광고비를 100만 원 늘리면 매출이 얼마나 오르는지, 나이에 따라 혈압이 어떻게 변하는지 같은 질문입니다. 예측 방향 없이 관련성의 강도만 알고 싶다면 [상관계수 계산기](/ko/tools/correlation-calculator)가 더 적합합니다. 독립변수가 둘 이상이면 다중회귀가 필요하며, 이 페이지에서는 다루지 않습니다.

• **선형성**: Y의 평균이 X에 따라 직선적으로 변한다. 산점도가 곡선이면 직선 모형은 맞지 않습니다.
• **독립성**: 잔차끼리 서로 독립이다. 같은 사람의 반복 측정이나 시계열 자료는 보통 이 가정을 어깁니다.
• **정규성**: 잔차가 대략 정규분포를 따른다. 주로 작은 표본에서 p값과 신뢰구간에 영향을 줍니다.
• **등분산성**: 잔차의 퍼짐이 X 값에 관계없이 대체로 일정하다. 그래프가 깔때기 모양이면 주의해야 합니다.

또한 **영향점**에 주의하세요. X 방향으로 다른 점들과 멀리 떨어진 관측 하나가 회귀선을 끌어당겨 기울기를 크게 바꿀 수 있습니다.

기울기와 절편(최소제곱법):

`b1 = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)²`

`b0 = ȳ − b1·x̄`

잔차 표준오차, 자유도 df = n − 2:

`s = √[ Σ(y − ŷ)² / (n − 2) ]`

표준오차와 t검정:

`SE(b1) = s / √Σ(x − x̄)²`, `t = b1 / SE(b1)`

`SE(b0) = s · √[ 1/n + x̄² / Σ(x − x̄)² ]`, `t = b0 / SE(b0)`

적합도:

`R² = 1 − SS_잔차 / SS_전체`, `수정된 R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − 2)`

`F = (SS_회귀 / 1) / (SS_잔차 / (n − 2))`, 자유도 (1, n − 2). 단순회귀에서는 기울기에 대해 `F = t²`이므로 p값이 같습니다.

한 작은 가게가 10주 동안 주간 광고비(X, 천 달러)와 주간 매출(Y, 천 달러)을 기록했습니다.

| 주 | 광고비 X | 매출 Y | |---|---|---| | 1 | 1 | 12 | | 2 | 2 | 15 | | 3 | 3 | 14 | | 4 | 4 | 19 | | 5 | 5 | 21 | | 6 | 6 | 20 | | 7 | 7 | 25 | | 8 | 8 | 27 | | 9 | 9 | 26 | | 10 | 10 | 31 |

결과(Python과 SciPy로 검증):

• 회귀식: **ŷ = 10.00 + 2.00·x**
• 기울기 b1 = 2.00, SE = 0.165, t(8) = 12.11, **p < .001**, 95% CI [1.62, 2.38]
• 절편 b0 = 10.00, SE = 1.025, t(8) = 9.76, p < .001
• **R² = .948**, 수정된 R² = .942
• 잔차 표준오차 = 1.50
• **F(1, 8) = 146.67, p < .001**

광고비가 천 달러 늘 때마다 주간 매출은 약 2천 달러 늘며, 이 표본에서 광고비는 주간 매출 변동의 약 95%를 설명합니다. 광고비 6.5천 달러인 주의 예측 매출은 10 + 2 × 6.5 = 23천 달러입니다. 광고비 12천 달러를 예측하는 것은 관측 범위(1~10) 밖이므로 외삽입니다(아래 ‘자주 하는 실수’ 참고).

• **기울기와 p값**: H0: b1 = 0 검정으로 선형 관계의 증거가 있는지 판단합니다. 효과의 그럴듯한 범위를 보여 주는 기울기의 신뢰구간도 함께 보고하세요.
• **절편**: 대개 연구의 관심사가 아니며, 그 p값은 X = 0에서의 예측값이 0인지만 검정합니다.
• **R²와 수정된 R²**: R²는 변수를 추가하면 줄지 않지만, 수정된 R²는 모형 크기에 벌점을 줍니다. 독립변수가 하나면 n이 아주 작지 않는 한 거의 같습니다.
• **잔차 표준오차**: Y의 단위로 나타낸 전형적인 예측 오차입니다. 이 예에서는 평균적으로 약 1.5천 달러 빗나갑니다.
• **F검정**: 독립변수가 하나면 기울기의 t검정과 같습니다.

R²가 높다고 모형이 옳은 것은 아니고, R²가 낮다고 기울기가 중요하지 않은 것도 아닙니다. 잔차 패턴과 기울기 크기를 함께 보세요.

독립변수와 종속변수, 기울기(비표준화는 b, 표준화는 β)와 그 검정, 모형 전체의 적합도를 씁니다.

> 단순선형회귀분석 결과, 광고비는 주간 매출을 유의하게 예측하였다, *b* = 2.00, *SE* = 0.17, *t*(8) = 12.11, *p* < .001, 95% CI [1.62, 2.38]. 모형은 매출 분산의 94.8%를 설명하였다, *R*² = .95, *F*(1, 8) = 146.67, *p* < .001.

예측에 쓰는 경우 회귀식도 제시합니다. R²는 1을 넘지 않으므로 앞의 0을 생략합니다.

여러 변수가 담긴 데이터셋으로 결과 하나가 아니라 논문 전체가 필요하다면, Data2Paper의 [논문 생성](/ko/generate-paper)이 CSV나 엑셀 파일로 분석과 논문 초안 작성까지 해 주며 앞부분은 무료로 미리 볼 수 있습니다.

• **외삽**: 관측한 X 범위 밖에서 예측하는 것. 그 범위에서도 직선 관계가 유지된다는 보장이 없습니다.
• **기울기를 인과 효과로 해석**: 관찰 자료는 관련성을 보여 줄 뿐이며, 인과 주장에는 이를 뒷받침하는 연구 설계가 필요합니다.
• **잔차도를 보지 않음**: 휘어짐이나 깔때기 모양이 있으면 p값과 신뢰구간이 오해를 부를 수 있습니다.
• **의미 없는 절편 해석**: 키가 0인 사람의 몸무게 같은 것.
• **X와 Y를 바꿈**: Y를 X에 회귀한 선과 X를 Y에 회귀한 선은 다릅니다. 연구 질문에 맞게 정하세요.
• **이상치 하나에 결과가 좌우됨**: 제외하고 다시 분석해 결론이 바뀌면 둘 다 보고하세요.
• **다른 변수를 통제해야 하는데 단순회귀 사용**: 이때는 다중회귀가 필요합니다.