Z分数计算器（标准分数）

计算器有三种模式：

**1. 原始分 → z 分数和百分位**

1. 输入原始分数 x、均值 μ 和标准差 σ。 2. 查看 z 分数、百分位（左侧面积）和右侧面积。

**2. z 值 → 概率**

1. 输入一个 z 值。 2. 查看左尾、右尾和双尾概率。相当于查标准正态分布表，但结果是精确值。

**3. 批量计算一列数据的 z 分数**

1. 从 Excel、WPS 或 CSV 粘贴一列数字。 2. 计算器默认用这一列的均值和标准差（也可以自己填），为每一行给出 z 分数，可以直接复制回表格。|z| > 3 的值一眼就能看出来，方便排查异常值。

数据不会上传，所有计算都在本地完成。

z 分数（标准分数）表示**一个数值比均值高或低多少个标准差**。z = 0 正好等于平均水平，+1 表示高出一个标准差，−2 表示低两个标准差。

常见用途：

• **比较不同量纲的分数**，例如同一个学生的数学和语文成绩，两门考试的均值、标准差都不同。
• **求百分位**：对于近似正态的指标（标准化考试分数、身高、智商等），由 z 分数得到排名百分位。
• **识别异常值**：|z| 超过 3 的观测通常需要复查。
• **变量标准化**：合成指数前或比较回归系数时先做标准化。
• **假设检验**：大样本比例检验等会得到 z 统计量。任何 z、t、卡方、F 统计量求P值，也可以用 [P值计算器](/zh/tools/p-value-calculator)。

单个数值的 z 分数：

`z = (x − μ) / σ`

其中 x 为原始分数，μ 为均值，σ 为标准差。只有样本数据时，用样本均值和样本标准差：`z = (x − x̄) / s`。

由 z 分数还原原始分：`x = μ + z × σ`。

百分位就是标准正态分布的累积概率 `Φ(z)`，即低于 z 的比例；右尾为 `1 − Φ(z)`，双尾概率为 `2 × (1 − Φ(|z|))`。

**前提条件**：计算 z 分数本身只需要均值和标准差。但**把 z 分数换算成百分位，前提是变量近似服从正态分布**。收入、反应时、计数等明显偏态的数据，用正态分布算出的百分位可能有偏差，更适合直接用数据的经验百分位。

某学生考试得 **82** 分，全班均值 **70** 分，标准差 **8** 分。

1. z = (82 − 70) / 8 = 12 / 8 = **1.50** 2. 左侧面积 Φ(1.50) = **0.9332**，大约处于第 **93 百分位**。 3. 右侧面积 = 1 − 0.9332 = **0.0668**，即若成绩服从正态分布，约 6.7% 的学生分数比他高。 4. |z| ≥ 1.50 的双尾概率 = **0.134**。

另一位学生得 60 分：z = (60 − 70) / 8 = **−1.25**，Φ(−1.25) = 0.106，大约第 **11 百分位**。

几个常用参考点：z = ±1.96 时两侧各留 2.5%（95% 置信区间的来源）；正态分布中约 68%、95%、99.7% 的数据分别落在均值 ±1、±2、±3 个标准差以内。

• **正负号**：正数表示高于均值，负数表示低于均值。
• **大小**：|z| 在 1 左右很常见；|z| > 2 比较少见（正态分布中只有约 5% 落在 ±1.96 之外）；|z| > 3 非常罕见。
• **百分位**：在正态假设下，参照群体中得分低于该值的百分比。

APA 7 中 *z* 用斜体，保留两位小数。描述性的标准分数可以这样写：

> 该被试的得分高于样本均值 1.50 个标准差（*z* = 1.50），约处于第 93 百分位。

若是 z 检验统计量，要给出精确P值：

> 该比例与 .50 存在显著差异，*z* = 2.17, *p* = .030。

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• 分母用了**方差**而不是标准差。
• **混用不同群体的数据**，例如用 A 组的分数配 B 组的均值和标准差。
• **偏态数据也按正态曲线查百分位**。
• **左尾、右尾搞反**：百分位是左尾面积，"有多少人比他高"是右尾面积。
• **小样本、总体标准差未知时用 z 检验比较均值**，这种情况应使用 t 检验，见 [t检验计算器](/zh/tools/t-test-calculator)。
• **把 |z| > 3 的数据一律删掉**。先确认是录入错误还是真实的极端个案。