z점수 계산기 (표준점수)

세 가지 모드가 있습니다.

**1. 원점수 → z점수와 백분위**

1. 원점수 x, 평균 μ, 표준편차 σ를 입력합니다. 2. z점수, 백분위(왼쪽 면적), 오른쪽 면적이 표시됩니다.

**2. z값 → 확률**

1. z값을 입력합니다. 2. 왼쪽 꼬리, 오른쪽 꼬리, 양측 확률이 표시됩니다. 표준정규분포표를 찾는 것과 같지만 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

**3. 한 열의 z점수 일괄 계산**

1. 엑셀, 구글 시트, CSV에서 숫자 열을 붙여넣습니다. 2. 그 열의 평균과 표준편차(또는 직접 입력한 값)를 사용해 각 행의 z점수를 출력하며, 결과를 그대로 표에 복사할 수 있습니다. |z| > 3인 값이 바로 보이므로 이상치 확인에도 유용합니다.

데이터는 업로드되지 않고 모두 기기 안에서 계산됩니다.

z점수(표준점수)는 **어떤 값이 평균보다 표준편차 몇 개만큼 위 또는 아래에 있는지**를 나타냅니다. z = 0은 정확히 평균, +1은 평균보다 1표준편차 위, −2는 2표준편차 아래입니다.

주요 용도:

• **척도가 다른 점수 비교**: 평균과 표준편차가 서로 다른 수학과 국어 시험 점수를 비교할 때.
• **백분위 구하기**: 표준화 시험 점수, 키처럼 대략 정규분포를 따르는 지표의 위치 파악.
• **이상치 탐지**: |z|가 3을 넘는 값은 흔히 점검 대상입니다.
• **변수 표준화**: 지수를 합산하거나 회귀계수를 비교하기 전에 표준화.
• **가설검정**: 대표본 비율 검정 등에서 z통계량을 얻습니다. z, t, χ², F 통계량의 p값은 [p값 계산기](/ko/tools/p-value-calculator)로도 구할 수 있습니다.

하나의 값에 대한 z점수:

`z = (x − μ) / σ`

x는 원점수, μ는 평균, σ는 표준편차입니다. 표본 자료만 있다면 표본평균과 표본표준편차를 씁니다: `z = (x − x̄) / s`.

z점수에서 원점수로 되돌리기: `x = μ + z × σ`.

백분위는 표준정규분포의 누적확률 `Φ(z)`, 즉 z보다 아래에 있는 비율입니다. 오른쪽 꼬리는 `1 − Φ(z)`, 양측 확률은 `2 × (1 − Φ(|z|))`입니다.

**전제 조건**: z점수 계산 자체에는 평균과 표준편차만 있으면 됩니다. 하지만 **z점수를 백분위로 바꾸려면 변수가 대략 정규분포를 따라야 합니다**. 소득, 반응 시간, 빈도처럼 심하게 치우친 자료에서는 정규분포 기반 백분위가 오해를 부를 수 있으므로, 자료에서 직접 구한 경험적 백분위가 더 적절합니다.

어떤 학생의 시험 점수가 **82**점이고, 반 평균은 **70**점, 표준편차는 **8**점입니다.

1. z = (82 − 70) / 8 = 12 / 8 = **1.50** 2. 왼쪽 면적 Φ(1.50) = **0.9332**, 즉 약 **93번째 백분위**입니다. 3. 오른쪽 면적 = 1 − 0.9332 = **0.0668**. 점수가 정규분포를 따른다면 약 6.7%의 학생이 더 높은 점수를 받습니다. 4. |z| ≥ 1.50인 양측 확률 = **0.134**.

다른 학생이 60점이라면 z = (60 − 70) / 8 = **−1.25**, Φ(−1.25) = 0.106으로 약 **11번째 백분위**입니다.

알아 두면 좋은 기준값: z = ±1.96이면 양쪽 꼬리에 각각 2.5%가 남습니다(95% 신뢰구간의 근거). 정규분포에서는 평균 ±1, ±2, ±3 표준편차 안에 각각 약 68%, 95%, 99.7%가 들어갑니다.

• **부호**: 양수는 평균보다 위, 음수는 평균보다 아래.
• **크기**: |z|가 1 안팎이면 흔한 값, |z| > 2는 드문 편(정규분포에서 ±1.96 바깥은 약 5%), |z| > 3은 매우 드뭅니다.
• **백분위**: 정규분포를 가정할 때 기준 집단에서 그 값보다 낮은 사람의 비율입니다.

APA 7에서는 *z*를 이탤릭체로 쓰고 소수점 둘째 자리까지 보고합니다. 기술적인 표준점수의 예:

> 해당 참가자의 점수는 표본 평균보다 1.50 표준편차 높았으며(*z* = 1.50), 93번째 백분위에 해당하였다.

z검정 통계량이라면 정확한 p값을 함께 씁니다:

> 비율은 .50과 유의하게 달랐다, *z* = 2.17, *p* = .030.

전체 데이터셋을 분석해 논문으로 정리하고 싶다면, Data2Paper의 [Generate Paper(논문 생성)](/ko/generate-paper)가 기술통계, 검정, 표, 그림이 포함된 논문 초안을 만들어 줍니다. 앞부분은 무료로 미리 볼 수 있습니다.

• 분모에 표준편차가 아닌 **분산**을 사용함.
• **다른 집단의 값을 섞어 씀** (A 집단 점수에 B 집단 평균과 표준편차를 적용하는 등).
• **치우친 분포에서도 정규곡선으로 백분위를 읽음.**
• **왼쪽과 오른쪽 꼬리를 혼동함.** 백분위는 왼쪽 면적, "몇 %가 더 높은가"는 오른쪽 면적입니다.
• **표본이 작고 모표준편차를 모르는데 z검정으로 평균을 비교함.** 이 경우에는 t검정을 써야 합니다. [t검정 계산기](/ko/tools/t-test-calculator)를 이용하세요.
• **|z| > 3인 값을 기계적으로 삭제함.** 입력 오류인지 실제 극단 사례인지 먼저 확인하세요.