方差分析计算器（单因素 ANOVA）

1. **选择输入方式**： - *原始数据*：每组一列直接粘贴，或导入 CSV 后选择列（也支持“分组列 + 数值列”的长格式）。 - *汇总统计量*：输入每组的样本量 n、均值和标准差——只有文献表格时很方便。 2. **至少两组**（方差分析通常用于三组及以上；正好两组时与独立样本 t 检验等价）。 3. **查看方差分析表**：平方和、自由度、均方、F 值、p 值，以及效应量 η²。 4. **组间标准差或样本量差别明显时**，看 Welch 方差分析结果。 5. **查看 Tukey HSD**：哪两组之间有差异，给出校正后的 p 值和置信区间。 6. **复制 APA 7 结果句**。

数据只在你的设备上，计算完全在浏览器内运行。

单因素方差分析（one-way ANOVA）检验多个独立组的总体均值是否全部相等：

• H0：μ1 = μ2 = … = μk
• H1：至少有一组均值不同

它比较的是**组间**变异与**组内**变异。如果各组均值之间的差距明显大于组内随机波动所能解释的程度，F 值就大，p 值就小。

适用于**一个分类自变量**、各组相互独立（三种教学方法、四种肥料、对照组和两种剂量组）、**因变量为连续变量**的情况。若对每两组都做一次 t 检验，假阳性概率会累积升高；方差分析一次性检验所有组，再用 Tukey HSD 等事后检验控制两两比较的总体错误率。

同一批被试在多个条件下重复测量，需要用重复测量方差分析；两个及以上因素需要多因素方差分析。这两种本页都不涉及。

• **独立性**：每个观测只属于一组，观测之间互不影响。
• **正态性**：每组内因变量近似正态分布。方差分析对轻度偏离较稳健，尤其是各组样本量相近且在 15 左右以上时。
• **方差齐性**：各组方差相近。常用经验标准是最大标准差不超过最小标准差的约 2 倍。不满足时（尤其各组样本量不等）应报告 **Welch 方差分析**，它不要求方差相等。

若因变量是等级数据或在小样本下严重偏态，常用的非参数替代方法是 Kruskal–Wallis 检验。两组比较可用 [Mann–Whitney U 检验计算器](/zh/tools/mann-whitney-u-test-calculator)。

设有 k 组，各组样本量 n_i、均值 ȳ_i，总均值 ȳ，总样本量 N：

`SS_组间 = Σ n_i (ȳ_i − ȳ)²`，df_组间 = k − 1

`SS_组内 = Σ Σ (y_ij − ȳ_i)² = Σ (n_i − 1) s_i²`，df_组内 = N − k

`MS = SS / df`

`F = MS_组间 / MS_组内`，服从自由度为 (k − 1, N − k) 的 F 分布。

效应量：`η² = SS_组间 / SS_总`。

Tukey HSD 对每两组计算 `q = |ȳ_i − ȳ_j| / √[ (MS_组内 / 2)(1/n_i + 1/n_j) ]`，与学生化极差分布比较。

Welch 方差分析以 `w_i = n_i / s_i²` 为权重，并对分母自由度做校正，因此方差不齐时依然有效。

研究者比较三种教学方法下学生的考试成绩，每种方法 5 人：

| 教学方法 | 成绩 | 均值 | 标准差 | |---|---|---|---| | A（讲授） | 78, 82, 75, 80, 85 | 80.0 | 3.81 | | B（主动学习） | 85, 88, 90, 84, 93 | 88.0 | 3.67 | | C（自学） | 70, 72, 68, 75, 71 | 71.2 | 2.59 |

方差分析表（已用 Python + SciPy 核对）：

| 变异来源 | SS | df | MS | F | p | |---|---|---|---|---|---| | 组间 | 706.13 | 2 | 353.07 | 30.52 | < .001 | | 组内 | 138.80 | 12 | 11.57 | | | | 总计 | 844.93 | 14 | | | |

• **F(2, 12) = 30.52，p < .001**（p = 0.00002）
• **η² = .84**：分组解释了成绩约 84% 的变异。
• Welch 方差分析：F(2, 7.73) = 33.42，p < .001，结论一致。

Tukey HSD 事后两两比较：

| 比较 | 均值差 | 95% CI | 校正 p | |---|---|---|---| | B − A | 8.0 | [2.26, 13.74] | .008 | | A − C | 8.8 | [3.06, 14.54] | .004 | | B − C | 16.8 | [11.06, 22.54] | < .001 |

三组两两之间均有显著差异：主动学习成绩最高，自学最低。

• **F 显著**只说明各组均值不全相等，不说明具体哪几组不同——这需要看事后检验。
• **η²（eta 方）**是分组解释的总变异比例。常引用的 Cohen 经验标准为 .01 小、.06 中、.14 大。小样本下 η² 会高估总体效应，ω² 偏差更小。
• **Welch 与传统 F**：两者一致时报告哪个都行（不少期刊现在默认推荐 Welch）；不一致且方差不齐时，以 Welch 为准。
• **Tukey HSD** 控制所有两两比较的总体错误率，前提是方差齐。看每对均值差的校正 p 值和置信区间。
• **F 不显著**不代表各组均值相等，小样本时尤其如此。

想要两组之间的标准化差异，可用[效应量计算器](/zh/tools/effect-size-calculator)计算 Cohen's d。

写明检验方法、两个自由度、F 值、p 值和效应量，再写事后检验结果，以及各组均值和标准差（常放在表格里）：

> 单因素方差分析显示，不同教学方法下的考试成绩差异显著，*F*(2, 12) = 30.52, *p* < .001, η² = .84。Tukey HSD 检验表明，主动学习组（*M* = 88.0, *SD* = 3.67）成绩高于讲授组（*M* = 80.0, *SD* = 3.81），*p* = .008，也高于自学组（*M* = 71.2, *SD* = 2.59），*p* < .001；讲授组高于自学组，*p* = .004。

若使用 Welch 方差分析，报告其带小数的自由度，如 *F*(2, 7.73) = 33.42。

如果你有完整的数据集（多个结局变量、协变量、人口学信息），Data2Paper 的[论文生成](/zh/generate-paper)可以完成统计分析并写出整篇论文初稿，前半部分免费预览。

• **用多次 t 检验代替方差分析 + 事后检验**，导致假阳性率膨胀。
• **F 显著后就停下**，不说明是哪几组之间有差异。
• **F 不显著仍做事后检验**，只挑显著的两组报告。
• **重复测量数据用单因素方差分析**（同一批人参加所有条件）。
• **忽视方差不齐**，尤其是样本量最小的组标准差最大时，应使用 Welch。
• **只报 p 值**：要同时报告效应量和各组均值、标准差。
• **小样本下把单个李克特题目当连续变量**，且回答集中在一端，却不加说明。