线性回归计算器（一元线性回归）

1. **输入 X 和 Y**：X 是自变量（预测变量），Y 是因变量（结果变量）。可从表格中直接粘贴两列、用逗号或空格分隔输入，或导入 CSV 选择变量列。 2. **确认样本量 n**：X 或 Y 有缺失的行会被剔除，页面会显示实际使用的有效对数，至少需要 3 对。 3. **查看回归系数表**：截距和斜率各自给出估计值、标准误、t 值和双侧 p 值。 4. **查看模型摘要**：R²、调整 R²、残差标准误、F 值及其 p 值。 5. **看拟合图**：散点图加回归直线，判断用直线描述数据是否合理。 6. **复制 APA 7 结果句**和回归方程到论文中。

数据不会离开你的设备，计算完全在浏览器内进行。

一元线性回归用最小二乘法（OLS）拟合一条直线 `ŷ = b0 + b1·x`，使观测值 Y 与直线之间的纵向距离平方和最小。

• **斜率 b1**：X 每增加 1 个单位，Y 的预期变化量。
• **截距 b0**：X = 0 时 Y 的预测值。只有当 X = 0 有实际意义时才值得解读。
• **R²（决定系数）**：Y 的变异中能被 X 解释的比例。

当你想用一个自变量**预测**结果，或**量化** X 每变化一个单位 Y 变化多少时使用，例如广告投入每多 1000 元销售额增加多少、年龄每增加一岁血压变化多少。如果只想知道两个变量关联有多强、不区分谁预测谁，用[相关系数计算器](/zh/tools/correlation-calculator)更合适。两个及以上自变量需要多元回归，本页不涉及。

• **线性（Linearity）**：Y 的均值随 X 线性变化。散点图呈曲线说明直线模型不合适。
• **独立（Independence）**：残差之间相互独立。同一批人的重复测量、时间序列数据通常不满足。
• **正态（Normality）**：残差近似正态分布，主要影响小样本下的 p 值和置信区间。
• **方差齐性（Equal variance）**：残差的离散程度在不同 X 处大致相同。图上呈喇叭形就要注意。

另外要留意**强影响点**：X 方向上远离其他数据的单个观测，可能把回归线拉向自己，明显改变斜率。

斜率和截距（OLS）：

`b1 = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)²`

`b0 = ȳ − b1·x̄`

残差标准误，自由度 df = n − 2：

`s = √[ Σ(y − ŷ)² / (n − 2) ]`

标准误与 t 检验：

`SE(b1) = s / √Σ(x − x̄)²`，`t = b1 / SE(b1)`

`SE(b0) = s · √[ 1/n + x̄² / Σ(x − x̄)² ]`，`t = b0 / SE(b0)`

拟合优度：

`R² = 1 − SS_残差 / SS_总`，`调整 R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − 2)`

`F = (SS_回归 / 1) / (SS_残差 / (n − 2))`，自由度 (1, n − 2)。一元回归中斜率的 `F = t²`，两者 p 值相同。

一家小店记录了 10 周的每周广告投入（X，千元）和每周销售额（Y，千元）：

| 周 | 广告投入 X | 销售额 Y | |---|---|---| | 1 | 1 | 12 | | 2 | 2 | 15 | | 3 | 3 | 14 | | 4 | 4 | 19 | | 5 | 5 | 21 | | 6 | 6 | 20 | | 7 | 7 | 25 | | 8 | 8 | 27 | | 9 | 9 | 26 | | 10 | 10 | 31 |

结果（已用 Python + SciPy 核对）：

• 回归方程：**ŷ = 10.00 + 2.00·x**
• 斜率 b1 = 2.00，SE = 0.165，t(8) = 12.11，**p < .001**；95% CI [1.62, 2.38]
• 截距 b0 = 10.00，SE = 1.025，t(8) = 9.76，p < .001
• **R² = .948**，调整 R² = .942
• 残差标准误 = 1.50
• **F(1, 8) = 146.67，p < .001**

广告每多投入 1 千元，周销售额平均多约 2 千元；在这个样本中，广告投入解释了销售额约 95% 的周间波动。投入 6.5 千元时预测销售额为 10 + 2 × 6.5 = 23 千元。若预测投入 12 千元的情况，已超出观测范围 1–10，属于外推，见下方常见错误。

• **斜率及其 p 值**：检验 H0：b1 = 0，判断是否存在线性关系。同时报告斜率的置信区间，它给出效应的合理范围。
• **截距**：通常不是研究关心的重点，它的 p 值只检验 X = 0 时的预测值是否为 0。
• **R² 与调整 R²**：增加自变量时 R² 只升不降，调整 R² 会对模型规模加以惩罚。只有一个自变量时两者接近，除非 n 很小。
• **残差标准误**：以 Y 的单位表示的典型预测误差。本例中预测平均偏差约 1.5 千元。
• **F 检验**：一个自变量时与斜率的 t 检验等价。

R² 高不代表模型一定正确，R² 低也不代表斜率不重要——要结合残差图和斜率大小判断。

写明自变量和因变量、斜率（未标准化写 b，标准化写 β）及检验结果，以及模型整体拟合：

> 一元线性回归显示，广告投入显著预测每周销售额，*b* = 2.00, *SE* = 0.17, *t*(8) = 12.11, *p* < .001, 95% CI [1.62, 2.38]。模型解释了销售额 94.8% 的变异，*R*² = .95, *F*(1, 8) = 146.67, *p* < .001。

如果论文要用于预测，请同时给出回归方程。R² 不会超过 1，所以不写前导 0。

如果你有一份多变量的完整数据集、需要的是整篇论文而不只是一个结果，可以用 Data2Paper 的[论文生成](/zh/generate-paper)：上传 CSV 或 Excel，自动完成分析并写出论文初稿，前半部分免费预览。

• **外推**：在观测到的 X 范围之外预测，直线关系未必成立。
• **把斜率当因果**：观察性数据只能说明关联，因果结论需要研究设计支持。
• **不看残差图**：有弯曲或喇叭形时，p 值和置信区间可能失真。
• **解读没有意义的截距**，例如身高为 0 时的体重。
• **X、Y 颠倒**：Y 对 X 回归与 X 对 Y 回归得到的是不同的直线，应根据研究问题选择。
• **被一个离群值主导**：去掉它重新拟合，若结论变化，两种结果都要报告。
• **需要控制其他变量却用一元回归**：这时应使用多元回归。