回帰分析 計算ツール（単回帰分析）

1. **X と Y を入力**：X は説明変数（独立変数）、Y は目的変数（従属変数）です。スプレッドシートから2列を貼り付けるか、カンマ・スペース区切りで入力、または CSV を読み込んで列を選びます。 2. **n を確認**：X か Y が欠損している行は除外され、使われたペア数が表示されます。最低3組必要です。 3. **係数表を読む**：切片と傾きそれぞれについて、推定値、標準誤差、t値、両側 p値が表示されます。 4. **モデルの要約を読む**：R²、自由度調整済み R²、残差標準誤差、F値とその p値。 5. **グラフを確認**：回帰直線付きの散布図で、直線でデータを表すのが妥当かを確かめます。 6. **APA 7 の報告文と回帰式をコピー**して論文に使います。

データは端末の外に出ません。計算はすべてブラウザ内で完結します。

単回帰分析は、観測値 Y と直線との縦方向のずれの2乗和が最小になる直線 `ŷ = b0 + b1·x` を求める方法です（最小二乗法、OLS）。

• **傾き b1（回帰係数）**：X が1単位増えたときの Y の変化量の期待値。
• **切片 b0**：X = 0 のときの Y の予測値。X = 0 が現実的な値でなければ解釈する意味はあまりありません。
• **決定係数 R²**：Y のばらつきのうち X で説明できる割合。

1つの説明変数から結果を**予測**したい、あるいは X が1単位変わると Y がどれだけ変わるかを**数量化**したいときに使います。たとえば広告費を1万円増やすと売上がいくら増えるか、年齢とともに血圧がどう変わるか、といった問いです。予測の向きを決めずに関連の強さだけを知りたい場合は[相関係数 計算ツール](/ja/tools/correlation-calculator)が適しています。説明変数が2つ以上なら重回帰分析が必要で、このページの対象外です。

• **線形性**：Y の平均が X に対して直線的に変化する。散布図が曲線なら直線モデルは不適切です。
• **独立性**：残差どうしが独立している。同じ人の繰り返し測定や時系列データでは満たされないことが多いです。
• **正規性**：残差がおおよそ正規分布に従う。主に小標本での p値や信頼区間に影響します。
• **等分散性**：残差のばらつきが X の値によらずほぼ一定。グラフが漏斗型なら要注意です。

また、**影響力の大きい点**にも注意しましょう。X 方向に他から離れた1点が回帰直線を引き寄せ、傾きを大きく変えることがあります。

傾きと切片（最小二乗法）：

`b1 = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)²`

`b0 = ȳ − b1·x̄`

残差標準誤差（自由度 df = n − 2）：

`s = √[ Σ(y − ŷ)² / (n − 2) ]`

標準誤差と t検定：

`SE(b1) = s / √Σ(x − x̄)²`、`t = b1 / SE(b1)`

`SE(b0) = s · √[ 1/n + x̄² / Σ(x − x̄)² ]`、`t = b0 / SE(b0)`

当てはまりの指標：

`R² = 1 − SS_残差 / SS_全体`、`調整済み R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − 2)`

`F = (SS_回帰 / 1) / (SS_残差 / (n − 2))`、自由度 (1, n − 2)。単回帰では傾きについて `F = t²` となり、p値は一致します。

ある小売店が10週間にわたり、週ごとの広告費（X、千ドル）と売上（Y、千ドル）を記録しました。

| 週 | 広告費 X | 売上 Y | |---|---|---| | 1 | 1 | 12 | | 2 | 2 | 15 | | 3 | 3 | 14 | | 4 | 4 | 19 | | 5 | 5 | 21 | | 6 | 6 | 20 | | 7 | 7 | 25 | | 8 | 8 | 27 | | 9 | 9 | 26 | | 10 | 10 | 31 |

結果（Python と SciPy で検算済み）：

• 回帰式：**ŷ = 10.00 + 2.00·x**
• 傾き b1 = 2.00、SE = 0.165、t(8) = 12.11、**p < .001**、95% CI [1.62, 2.38]
• 切片 b0 = 10.00、SE = 1.025、t(8) = 9.76、p < .001
• **R² = .948**、調整済み R² = .942
• 残差標準誤差 = 1.50
• **F(1, 8) = 146.67、p < .001**

広告費が1千ドル増えるごとに週の売上は約2千ドル増え、この標本では売上の週ごとの変動の約95%を広告費で説明できています。広告費6.5千ドルの週の予測売上は 10 + 2 × 6.5 = 23 千ドルです。広告費12千ドルの予測は観測範囲（1〜10）の外なので外挿になります（下の「よくある間違い」参照）。

• **傾きと p値**：H0：b1 = 0 の検定で、直線的な関係の証拠があるかを判断します。効果の大きさの幅を示す傾きの信頼区間も報告しましょう。
• **切片**：研究上の関心でないことが多く、その p値は X = 0 での予測値が0かどうかを検定しているだけです。
• **R² と調整済み R²**：R² は説明変数を増やすと必ず増えますが、調整済み R² はモデルの大きさにペナルティを課します。説明変数が1つなら、n が小さくない限りほぼ同じ値です。
• **残差標準誤差**：Y の単位で表した典型的な予測誤差です。この例では平均して約1.5千ドルずれます。
• **F検定**：説明変数が1つなら傾きの t検定と同等です。

R² が高くてもモデルが正しいとは限らず、R² が低くても傾きが重要でないとは限りません。残差のパターンと傾きの大きさをあわせて判断しましょう。

説明変数と目的変数、傾き（非標準化は b、標準化は β）とその検定、モデル全体の当てはまりを記載します。

> 単回帰分析の結果、広告費は週の売上を有意に予測した，*b* = 2.00, *SE* = 0.17, *t*(8) = 12.11, *p* < .001, 95% CI [1.62, 2.38]。モデルは売上の分散の94.8%を説明した，*R*² = .95, *F*(1, 8) = 146.67, *p* < .001。

予測に使う場合は回帰式も示します。R² は1を超えないので先頭の0は省きます。

多変数のデータセットがあり、1つの結果ではなく論文全体が必要なら、Data2Paper の[論文生成](/ja/generate-paper)が CSV や Excel から分析と論文ドラフト作成までを行います。前半は無料でプレビューできます。

• **外挿**：観測した X の範囲外で予測すること。その範囲で直線関係が成り立つ保証はありません。
• **傾きを因果効果と解釈する**：観察データが示すのは関連であり、因果の主張には研究デザインの裏付けが必要です。
• **残差プロットを見ない**：曲がりや漏斗型があると p値や信頼区間が誤解を招きます。
• **意味のない切片を解釈する**：身長0の人の体重など。
• **X と Y を取り違える**：Y を X に回帰した直線と X を Y に回帰した直線は異なります。研究上の問いに合わせて選びましょう。
• **1つの外れ値に結果が左右される**：除いて再分析し、結論が変わるなら両方を報告します。
• **他の変数を統制したいのに単回帰を使う**：その場合は重回帰分析が必要です。